M-method example

17-LinProgSimplex/examples.tex

@@ -19,7 +19,7 @@
 
 \begin{document}
 \maketitle
-Здесь использованы материалы из книги~\cite{intro2lin}. 
+Здесь использованы материалы из книги~\cite{intro2lin}.
 \section{Задача 1}
 Решить задачу табличным симплекс методом:
 \begin{equation*}
@@ -31,7 +31,7 @@ \section{Задача 1}
 & x_{1,2,3} \geq 0
 \end{split}
 \end{equation*}
-\textbf{Решение:} по виду задачи ясно, что она не в канонической  форме. 
+\textbf{Решение:} по виду задачи ясно, что она не в канонической  форме.
 Введём дополнительные переменные и запишем её в канонической форме:
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -45,11 +45,11 @@ \section{Задача 1}
 Заметим, что матрица $\bA \in \mathbb{R}^{m \times n}$, где $m=3$ и $n=6$.
 Теперь нужно найти угловую точку допустимого множества, то есть такую точку, чтобы она лежала в множестве и существовало множество индексов $\mathcal{B} \subset \{1, \dots, n\}$ мощностью $|\mathcal{B}| = m = 3$, что матрица из столбцов матрицы $\bA$ с индексами из множества $\mathcal{B}$ была невырождена, и координаты угловой точки с индексами не из множества $\mathcal{B}$ были нулевыми.
 В данном случае достаточно очевидно, что $\bx_0 = (0, 0, 0, 20, 20, 20)$, $\mathcal{B}_0 = \{4, 5, 6 \}$ и матрица базиса $\mathbf{B}_0 = \mathbf{I}_m$~--- невырождена.
-Если начальная угловая точка не так очевидна, необходимо выполнить двухфазный симплекс-метод или M-метод. 
+Если начальная угловая точка не так очевидна, необходимо выполнить двухфазный симплекс-метод или M-метод.
 Такой пример будет приведён ниже.
 
 Теперь составим таблицу~\ref{tab::simplex0} симплекс-метода, модифицируя которую получим решение поставленной задачи.
-Столбцы этой таблицы соответствуют столбцам матрицы $\bA$. 
+Столбцы этой таблицы соответствуют столбцам матрицы $\bA$.
 Последние $m=3$ строк соответствуют базисным переменным с индексами из множества~$\mathcal{B}_0$.
 В $m+1$ строке с конца расположены оценки замещения для каждой переменной $x_i$, а в первом столбце отрицательное значение целевой функции.
 
@@ -76,7 +76,7 @@ \section{Задача 1}
 В соответствии с правилом Бланда выберем $\ell = 5$.
 Таким образом, выбран ведущий элемент равный 2, он выделен жирным в таблице~\ref{tab::simplex0}.
 
-Далее с помощью элементарных преобразований получим базисную матрицу для новой угловой точки с базисом $\mathcal{B}_1 = \{4, 1, 6\}$. 
+Далее с помощью элементарных преобразований получим базисную матрицу для новой угловой точки с базисом $\mathcal{B}_1 = \{4, 1, 6\}$.
 Прежде всего покажем, как изменится значение целевой функции.
 Для этого элементарным преобразованием занулим оценку замещения, соответствующую $x_1$.
 
@@ -98,11 +98,11 @@ \section{Задача 1}
 \end{table}
 
 Далее выбираем столбец $x_2$, поскольку оценка замещения отрицательная и индекс минимален $(2 < 3)$.
-Аналогично предыдущей итерации $u = \mathbf{a}_2$ и $\theta^* = 0$ при $\ell = 6$. 
-Таким образом, заменяем $x_6$ на $x_2$ и ведущий элемент равен 1 (выделен жирным). 
-Заметим, что текущее решение является вырожденным, так как $x_6 = 0$. 
-Поэтому значение целевой функции не меняется при смене базиса. 
-Зануляем оценку замещения для $x_2$ и строки в столбце $x_2$ кроме строки с ведущим элементом. 
+Аналогично предыдущей итерации $u = \mathbf{a}_2$ и $\theta^* = 0$ при $\ell = 6$.
+Таким образом, заменяем $x_6$ на $x_2$ и ведущий элемент равен 1 (выделен жирным).
+Заметим, что текущее решение является вырожденным, так как $x_6 = 0$.
+Поэтому значение целевой функции не меняется при смене базиса.
+Зануляем оценку замещения для $x_2$ и строки в столбце $x_2$ кроме строки с ведущим элементом.
 Получили таблицу~\ref{tab::simplex2}.
 
 \begin{table}[!ht]
@@ -144,14 +144,14 @@ \section{Задача 1}
 \label{tab::simplex3}
 \end{table}
 
-Поскольку все оценки замещения неотрицательны, то решение найдено и оно является оптимальным. 
+Поскольку все оценки замещения неотрицательны, то решение найдено и оно является оптимальным.
 Найденное решение соответствует $(x_1, x_2, x_3) = (4,4,4)$ и находится в первом столбце и последних $m = 3$ строках.
 В первом столбце и $m+1$ строке с конца находится отрицательное значение целевой функции, то есть оптимальное значение равно $-136$.
 Знаки $-$ в ячейках таблицы означают, что значения в этих ячейках неважны и их можно не вычислять.
 
 \section{Задача 2}
-В этой задаче показано, что симплекс-метод может зациклиться, и как это зацикливание может быть преодолено с помощью правила Бланда. 
-Здесь описание переходов от таблицы к таблице не будет описано столь подробно как в предыдущем примере, поскольку они полностью аналогичны. 
+В этой задаче показано, что симплекс-метод может зациклиться, и как это зацикливание может быть преодолено с помощью правила Бланда.
+Здесь описание переходов от таблицы к таблице не будет описано столь подробно как в предыдущем примере, поскольку они полностью аналогичны.
 Ведущий элемент на каждой итерации будет выделен жирно.
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -302,7 +302,7 @@ \section{Задача 2}
 \label{tab::simplex_26}
 \end{table}
 
-Получили таблицу~\ref{tab::simplex_26}, в точности совпадающую с изначальной таблицей~\ref{tab::simplex_20}. 
+Получили таблицу~\ref{tab::simplex_26}, в точности совпадающую с изначальной таблицей~\ref{tab::simplex_20}.
 Таким образом, следуя указанным правилам выбора ведущего элемента симплекс-метод никогда не остановится.
 
 \subsection{Правило Бланда}
@@ -381,9 +381,9 @@ \section{Задача 3}
 \end{split}
 \end{equation*}
 
-Для этой задачи начальная угловая точка не так очевидна, как для предыдущих задач. 
+Для этой задачи начальная угловая точка не так очевидна, как для предыдущих задач.
 Поэтому необходимо провести двухфазный симплекс-метод.
- 
+
 \textbf{Фаза 1.} Составим вспомогательную задачу
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -395,7 +395,7 @@ \section{Задача 3}
 & x_1, \dots,x_8 \geq 0
 \end{split}
 \end{equation*}
-Поскольку изначально $b_i > 0$ для всех $i$, то преобразования строк матрицы $\bA$ не требуется. 
+Поскольку изначально $b_i > 0$ для всех $i$, то преобразования строк матрицы $\bA$ не требуется.
 Иначе нужно было бы умножить соответствующую строку на $-1$.
 
 Начальная угловая точка для вспомогательной задачи очевидна, $\bx_0 = (0,0,0,0, 3, 2, 5, 1)$ и соответствующий подвектор $\bc_{B} = (1,1,1,1)$.
@@ -520,12 +520,140 @@ \section{Задача 3}
 Так как все оценки замещения положительные, получено решение исходной задачи.
 Таким образом, решение исходной задачи $\bx^* = (1/2, 5/4, 0, 1)$ и $f^* = 7/4$.
 
+\section{Задача 4}
+В этой задаче рассматривается пример использования М-метода.
+Рассмотрим решение на примере предыдущей задачи.
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& \min x_1 + x_2 + x_3\\
+\text{s.t. } & x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3\\
+& -x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 2\\
+& 4x_2 + 9x_3 = 5\\
+& 3x_3 + x_4 = 1\\
+& x_{1,2,3,4} \geq 0
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+Идея заключается в том, представить целевую функцию в виде
+$$
+\sum_{j=1}^{n} c_j x_j + M \sum_{i=1}^m y_i
+$$
+где $M$ - некоторая большая положительная константа, а $y_i$ - искусственные переменные. Если изначальная задача имеет конечный оптимум, то при достаточно больших значениях $M$ все $y_i$ обратятся в ноль. Нет необходимости задавать $M$ явно - можно представить его в виде некоторого неопределенного параметра и записывать оценки замещения как некоторые функции от $M$. Когда же возникнет необходимость определить их знак, то будем считать $M$ всегда больше любого другого положительного числа.
+
+
+  Составим вспомогательную задачу
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& \min x_1 + x_2 + x_3 + Mx_5 + Mx_6 + Mx_7 + Mx_8\\
+\text{s.t. } & x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_5= 3\\
+& -x_1 + 2x_2 + 6x_3 + x_6 = 2\\
+& 4x_2 + 9x_3 + x_7 = 5\\
+& 3x_3 + x_4 + x_8= 1\\
+& x_{1,2,3,4,5,6,7,8} \geq 0
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+Начальная угловая точка для вспомогательной задачи  $\bx_0 = (0,0,0,0, 3, 2, 5, 1)$ и соответствующий подвектор $\bc_{B} = (M,M,M,M)$.
+Заполнение изначальной таблицы симплекс-метода показано в таблице~\ref{tab::simplex_34}.
+
+\begin{table}[!ht]
+\centering
+\caption{Изначальная таблица $М$-метода}
+\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
+\hline
+& $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ & $x_8$&\\
+\hline
+$-\mathbf{c}_{\mathcal{B}}^{\top}\bx_{\mathcal{B}} = -11M$ & $1$ & $-8M + 1$ & $-21M +1$  & $-M$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
+\hline
+$x_5 = 3$ & $1$ & $2$ & $3$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$  \\
+$x_6 = 2$ & $-1$ & $\mathbf{2}$ & $6$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$\\
+$x_7 = 5$ & $0$ & $4$ & $9$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$  \\
+$x_8 = 1$ & $0$ & $0$ & $3$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$  \\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{tab::simplex_34}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!ht]
+\centering
+\caption{Таблица $М$-метода после первой итерации}
+\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
+\hline
+& $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ & $x_8$\\
+\hline
+$-\mathbf{c}_{\mathcal{B}}^{\top}\bx_{\mathcal{B}} = -3M - 1$ & $-4M +3/2$ & $0$ & $3M-2$ & $-M$ & $0$ & $4M-1/2$ & $0$ & $0$\\
+\hline
+$x_5 = 1$ & $\mathbf{2}$ & $0$ & $-3$ & $0$ & $1$ & $-1$ & $0$ & $0$\\
+$x_2 = 1$ & $-1/2$ & $1$ & $3$ & $0$ & $0$ & $1/2$ & $0$ & $0$ \\
+$x_7 = 1$ & $2$ & $0$ & $-3$ & $0$ & $0$ & $-2$ & $1$ & $0$ \\
+$x_8 = 1$ & $0$ & $0$ & $3$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{tab::simplex_35}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!ht]
+\centering
+\caption{Таблица $М$-метода после второй итерации}
+\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
+\hline
+& $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ & $x_8$\\
+\hline
+$-\mathbf{c}_{\mathcal{B}}^{\top}\bx_{\mathcal{B}} =   -M -7/4$ & $0$ & $0$ & $-3M + 1/4$ & $-M$ & $2M-3/4$ & $2M+1/4$ & $0$ & $0$\\
+\hline
+$x_1 = 1/2$ & $1$ & $0$ & $-3/2$ & $0$ & $1/2$ & $-1/2$ & $0$ & $0$\\
+$x_2 = 5/4$ & $0$ & $1$ & $9/4$ & $0$ & $1/4$ & $1/4$ & $0$ & $0$\\
+$x_7 = 0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-1$ & $-1$ & $1$ & $0$ \\
+$x_8= 1$ & $0$ & $0$ & $\mathbf{3}$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{tab::simplex_36}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!ht]
+\centering
+\caption{Таблица $М$-метода после третьей итерации}
+\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
+\hline
+& $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ & $x_8$\\
+\hline
+$-\mathbf{c}_{\mathcal{B}}^{\top}\bx_{\mathcal{B}} =   -22/12$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-1/12$ & $2M-3/4$ & $2M+1/4$ & $0$ & $0$\\
+\hline
+$x_1 = 1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1/2$ & $1/2$ & $-1/2$ & $0$ & $1/2$\\
+$x_2 = 1/2$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-3/4$ & $1/4$ & $1/4$ & $0$ & $-3/4$\\
+$x_7 = 0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-1$ & $-1$ & $1$ & $0$ \\
+$x_3= 1/3$ & $0$ & $0$ & $1$ & $\mathbf{1/3}$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1/3$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\label{tab::simplex_37}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!ht]
+\centering
+\caption{Таблица $М$-метода после четвертой итерации}
+\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
+\hline
+& $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ & $x_8$\\
+\hline
+$-\mathbf{c}_{\mathcal{B}}^{\top}\bx_{\mathcal{B}} =   -7/4$ & $0$ & $0$ & $1/4$ & $0$ & $2M-3/4$ & $2M+1/4$ & $0$ & $1/12$\\
+\hline
+$x_1 = 1/2$ & $1$ & $0$ & $-3/2$ & $0$ & $1/2$ & $-1/2$ & $0$ & $0$\\
+$x_2 = 5/4$ & $0$ & $1$ & $9/4$ & $0$ & $1/4$ & $1/4$ & $0$ & $0$\\
+$x_7 = 0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $-1$ & $-1$ & $1$ & $0$ \\
+$x_4= 1$ & $0$ & $0$ & $3$ & $1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$\\
+\hline
+\label{tab::simplex_38}
+\end{table}
+
+\newpage
+Так как при достаточно больших $М$ все оценки замещения положительные, получено решение исходной задачи.
+Решение исходной задачи $\bx^* = (1/2, 5/4, 0, 1)$ и $f^* = 7/4$.
+Заметим, что вводить дополнительную переменную для решения этой задачи было необязательно. Вместо того, чтобы положить $x_8 = 1$ мы могли взять $x_4 = 1$, таким образом упростив получившуюся схему. Вообще говоря, в случае если переменная встречается только в одном ограничении и имеет положительный коэффициент, то соответствующий ей столбец всегда можно ввести в матрицу базиса и вводить дополнительную переменную, свзанную с этим ограничением не нужно.
 
 \begin{thebibliography}{9}
 
-\bibitem{intro2lin} 
+\bibitem{intro2lin}
 Dimitris Bertsimas and John N. Tsitsiklis. \emph{Introduction to linear optimization}, Belmont, MA: Athena Scientific, 1997, 5th edition
 
 \end{thebibliography}
-\end{document}
-
+\end{document}